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Análise de métricas de risco na otimização de portfolios de ações 1. INTRODUÇÃO O artigo pioneiro de Markowitz (1952) provocou uma mudança radical na forma de analisar o problema da formação de portfolios (grupos ou carteiras) de ativos financeiros. Diversos direcionamentos formados na teoria, conjuntamente explorados por outros pesquisadores clássicos como Sharpe (1964) e Lintner (1965), provocaram dúvidas, discussões e questionamentos, tendo como produto uma gama de livros e artigos que formaram a Moderna Teoria do Portfolio.

Nas últimas décadas, autores como Rom_e_Ferguson_(1994), Grootveld_e_Hallerbach (1999) e Roman_e_Mitra_(2009) argumentam que essa teoria está em fase de transição para a chamada Teoria do PortfolioPós-Moderna (Post Modern Portfolio The ory). Segundo esses autores, o desenvolvimento de novas formas de otimizar carteiras de investimentos viabilizadas pela grande capacidade computacional traz novos dilemas e questões para os gestores de carteiras. Kato_(2004) cita a necessidade de estudar métodos para comparar os resultados de cada uma das medidas.

O presente artigo é uma extensão dos trabalhos de Araújo,_Montini_e_Securato_ (2010) e Araújo_e_Montini_(2011). No primeiro, os autores comparam as medidas de risco desvio padrão e semivariância na otimização de carteiras de ações e recomendam a comparação dessas medidas quando aumenta o número de ativos na carteira. No segundo estudo, Araújo e Montini (2011) analisam três medidas: desvio padrão, momento parcial inferior de ordem 2 (Lower Partial Moment [LPM] ou semivariância) e o valor em risco condicional (Conditional Value-at-Risk [CVaR]). Os autores recomendam avaliar as diferenças quanto à forma de distribuição de probabilidade dos retornos das ações e ao impacto do grau de assimetria na formação de carteiras.

Diante das recomendações citadas, no presente artigo o objetivo é investigar as alocações de investimentos em ações com uso de diferentes métricas de minimização de riscos (desvio padrão, momento parcial inferior de ordem 2 [LPM] e valor em risco condicional [CVaR]), buscando responder à seguinte questão de pesquisa: * Quais as características das carteiras de ações quando são utilizadas diferentes métricas de mensuração de riscos, considerando normalidade e ausência de normalidade na distribuição de probabilidade dos retornos das ações? O foco das análises foi verificar se os portfolios apresentam características de riscos e retornos diferenciadas. Para essa tarefa, empregam-se as seguintes métricas de risco: desvio padrão (Markowitz,_1952); LPM, utilizando a medida de semivariância proposta em Estrada (2008); e CVaR, proposta por Rockafellar_e Uryasev_(2000). As medidas foram selecionadas com base no estudo de Roman_e Mitra_(2009), que apresentam, para pesquisas futuras, a importância do foco nas medidas de risco baseadas no lado inferior da distribuição dos retornos (downside risk), como semivariância e CVaR. De acordo com esses autores, essas métricas são os pilares da teoria do portfoliopós-moderna.

Jarrow_e_Zhao_(2006) ainda citam mais três justificativas para a crescente atenção às medidas de downside risk. A primeira diz respeito aos debates correntes por causa das numerosas catástrofes financeiras e aos acordos da Basileia. Nessas discussões, mensurações de downside risk, como o valor em risco (Value at Risk[VaR]), têm importância considerável. A segunda relaciona- se com as utilizações mais frequentes de derivativos na gestão de portfolios, que alteram a distribuição de probabilidade da carteira, passando de simétrica para assimétrica. Por último, em momentos de desaceleração do mercado de capitais, a utilização de ativos de renda fixa é crucial. Contudo, nesses produtos, verifica-se a existência de caudas pesadas nas distribuições de probabilidade, o que dificulta a análise por média-variância.

O próximo tópico é dedicado à revisão bibliográfica, em que são abordadas questões sobre medidas de risco, avaliação das métricas e conceituação das medidas comparadas no trabalho. Posteriormente, detalham-se os métodos para a obtenção dos objetivos, descrevem-se as análises e resultados e apresentam-se as considerações finais.

2. REFERENCIAL TEÓRICO O tema risco tem bastante impacto na literatura da área financeira. Um dos principais trabalhos nessa linha é Against the gods: the remarkable story of risk, o best seller de Peter L. Bernstein (1996). Outros pesquisadores publicaram artigos de importância significativa para o desenvolvimento do tema, como Nawrocki_(1999) que realizou uma revisão bibliográfica para descrever o desenvolvimento das mensurações do chamado downside risk, e Roman_e_Mitra_ (2009), que escreveram um breve histórico das medidas de risco.

No Brasil, existem trabalhos como o elaborado por Saito,_Savoia_e_Famá_(2006) que descrevem a evolução da função financeira, desde os primeiros artigos de Markowitz_(1952), Tobin_(1958) e Sharpe_(1964), até a ascensão das finanças comportamentais no célebre trabalho de Kahneman_e_Tversky_(1979). Outro autor, Kato_(2004), adiciona à literatura uma breve revisão a respeito do desenvolvimento das medidas de risco.

Segundo Kato_(2004), a chamada teoria do risco teve origem no estudo de Tetens_ (1789), em que o autor realizou diversas análises e discussões a respeito de dados relacionados a anuidades e direitos de pensão; algumas delas utilizavam como medida a média e o desvio padrão. Kato_(2004) também cita Keynes_(1937), ao descrever sobre o risco ser medido a partir dos desvios em relação a um retorno médio, devendo um prêmio pelo risco ser atribuído aos investimentos nos ativos representados com altas dispersões. Outros autores, como Domar_e Musgrave_(1944), definem o risco como possibilidades de perdas, dado que estaria associado à probabilidade de a taxa de retorno ser menor do que zero.

Como se percebe, os diversos autores associam termos como variação, dispersão, perda e incerteza ao risco. Entretanto, o conhecimento de como representar esse risco de forma que seja possível ordená-lo é alvo de discussões entre pesquisadores. Segundo Kato_(2004), não existe consenso entre os autores sobre uma medida de risco financeiro.

Kato_(2004), Alexander_(2008) e Roman_e_Mitra_(2009) citam duas categorias para mensuração do risco financeiro na otimização de portfolios. A primeira é caracterizada pelas medidas que consideram a dispersão em relação a um retorno- alvo e podem somente assumir valores positivos; nesse caso, a categoria é dividida em dois grupos: medidas simétricas e assimétricas. A segunda categoria é formada pelas medidas de risco baseadas em quantis.

Na primeira categoria, o grupo das medidas simétricas é representado pela variância (ou desvio padrão) e pelo desvio médio absoluto. Como retorno-alvo utiliza-se o valor esperado. Nesse caso, os riscos são considerados como dispersões acima ou abaixo das expectativas. No segundo grupo, o risco é mensurado somente em relação aos desvios abaixo do retorno-alvo (downside risk), podendo ser o valor esperado ou algum benchmarking. Os principais representantes do grupo são a semivariância e o conjunto de medidas baseadas no momento parcial inferior da distribuição de probabilidade dos retornos (Lower Partial Moment[LPM]).

A segunda categoria é formada pelas medidas de risco baseadas em quantis (percentis). Nesse campo, são classificadas as medidas Value-at-Risk (VaR) e Conditional Value-at-Risk (CVaR). A dimensão é caracterizada pelo foco no chamado tail risk measures, ou seja, o objetivo é estimar o risco a partir da área da cauda esquerda da distribuição de probabilidade dos retornos do ativo, dado certo nível de confiança (1%, 5% ou 10%). De acordo com Alexander (2008), o estudo da cauda esquerda é muito importante para explicar as perdas de um ativo.

2.1. Avaliação das medidas de risco Roman_e_Mitra_(2009) utilizaram algumas propriedades matemáticas das medidas de risco para verificar conceitualmente a consistência de cada uma delas; os conceitos norteadores foram os de dominância estocástica (DE) e coerência.

Essas propriedades foram discutidas por autores como Hadar_e_Russell_(1969), Aharony_e_Loeb_(1977), Artzner,_Delbaen,_Eber_e_Heath_(1999), Clemen_e_Reilly_ (2001) e Kato_(2004), o que mostra a relevância do tema.

Roman_e_Mitra_(2009) conceituam dominância estocástica como um processo realizado para classificar variáveis aleatórias abaixo de suposições gerais do comportamento econômico modelado pela função utilidade. As principais regras são as seguintes: dominância estocástica de primeira ordem (First-degree Stochastic Dominance [FSD]) e dominância estocástica de segunda ordem (Second- degree Stochastic Dominance[SSD]).

Considerem-se F(x) e G(x) funções de probabilidade acumuladas nas carteiras F e G, em que X é uma variável aleatória que representa os retornos. As dominâncias estocásticas de primeira e segunda ordens foram definidas por Hadar_e_Russell_ (1969) e Aharony_e_Loeb_(1977) como: * o portfolio F possui FSD em relação a G se F(X) ≤ G(X); * o portfolio F possui SSD em relação a G se ∫x-∞ [G(x) – F(x) dt ≥ 0.

No caso de seleção de carteiras de ativos, F será eficiente em relação à carteira G, se F tiver um retorno esperado maior do que G e F tiver variância menor do que a de G. Essa proposição é apresentada na expressão [1]. Essa relação é caracterizada exatamente pela dominância estocástica de segunda ordem.

O segundo conceito norteador relacionado às proprieda- des matemáticas das medidas de risco é a coerência. Segundo Rockafellar_e_Uryasev_(2000), o trabalho de Artzner_et_al._(1999) é a principal referência sobre os axiomas (propriedades) de uma medida de risco coerente.

Sejam X e Y dois ativos, uma medida de risco ρ é chamada de medida de risco coerente quando satisfaz os axiomas de coerência enunciados a seguir.

* Axioma 1 (subaditividade) – para todos os X e Y, ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y).

Esta propriedade ocorre pela diversificação, isto é, o risco de dois ativos combinados não deve ser maior do que os riscos individuais.

* Axioma 2 (homogeneidade positiva) – para todo X e λ ≥ 0, ρ(λX) = λρ(X). O risco de uma variável aleatória (como a taxa de retorno em porcentagem) multiplicada por um escalar (como algum valor monetário) deve ser o mesmo que multiplicar o escalar pelo risco individual da variável aleatória.

* Axioma 3 (monotonicidade) – para todos os X e Y tais que X ≤ Y, ρ(X) ≤ ρ (Y). Caso um ativo X sempre apresente retornos menores em relação a outro ativoY, esse ativo X deve possuir risco menor em relação ao Y.

* Axioma 4 (invariância à translação) – para todo X e α r, ρ(X + αrf) = ρ (X) – α. Adicionar à quantia inicial um valor α e investir no ativo livre de risco (sendo rf = 1) torna o risco da carteira ainda menor. Isso ocorre pelo fato de as propriedades do ativo livre de risco não possuírem risco. Mediante as diversas medidas de risco existentes na otimização de carteiras, Roman_e_Mitra_(2009)apresentam as principais propriedades atendidas por essas mensurações, como apresentado na Figura_1. Como se percebe nessa figura, somente o CVaR atende às três características principais de uma medida de risco, conforme demonstraram Roman_e_Mitra_ (2009). Tanto o VaR quanto a família LPM apresentam problemas de coerência, e o desvio padrão não apresenta dominância estocástica.

Figura 1 Propriedades das Medidas de Risco  Medida de Dominância Estocástica de Primeira Dominância Estocástica de SegundaCoerência Risco Ordem Ordem Desvio padrão Não Não Sim* Desvio médio Não Não Sim* absoluto LPM Sim Sim Não VaR Sim Não Não CVaR Sim Sim Sim Nota: *Coerentes, ao supor-se distribuição normal.

Fonte: Adaptado de Roman_e_Mitra_(2009,_p._83).

2.2. Otimização de carteiras pelo desvio padrão (DP) O foco da análise de carteiras está na estimação de riscos e retornos de ativos a partir da descrição de suas distribuições de probabilidades. Um dos métodos mais conhecidos é o modelo média-variância (Varian,_2006), proposto por Markowitz_(1952). Luenberger_(1998) discute de forma minuciosa os aspectos desse modelo, desde a estimação dos retornos até a otimização de carteiras, utilizando a variância como medida de risco. No que tange à estimação do retorno da carteira, considerou-se a equação_[2].

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e02.jpg] em que E(rc) é o retorno esperado da carteira; E(ri) é o retorno esperado do ativo i; wi é o percentual do valor total investido no ativo i.

A variância pode ser estimada a partir da dispersão dos resultados das ações em relação a seus retornos médios, como é apresentado na equação_[3].

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e03.jpg] em que wi é o percentual do valor investido no ativo i; σ 2c é a variância da carteira; σij é a covariância entre ativos ie j.

A construção e a administração de carteiras de ações baseiam-se na busca de altos retornos e baixos níveis de risco; esse esforço pode ser chamado de problema de portfolio ou, segundo Luenberger_(1998), o problema de Markowitz.

A construção do portfolio sugerido por Markowitz tornou-se possível por meio de programação quadrática, com a qual se buscou otimizar o modelo exibido na equação_[4] (Cassarotto_Filho & Kopittke,_1998; Luenberger,_1998; Costa &_Assunção,_2005).

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e04.jpg] sujeito às restrições wi = 1 e 0 ≤ wi ≤ 1 [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e05.jpg] Essa otimização, que será denominada de modelo M.1, implica a minimização do risco dado um nível de retorno desejado, devendo os percentuais alocados obterem somatório igual a 1.

2.3. Otimização pelo momento parcial inferior O modelo proposto por Estrada_(2008) torna-se importante pelo conjunto de trabalhos que utilizou a heurística para estimar o chamado downside beta; o próprio autor faz uma sequência de artigos nos anos de 2002, 2006 e 2007 (Estrada,_2002; 2006; 2007) utilizando a simplificação; somente em 2008 discute especificamente a técnica de otimização (Estrada,_2008). No Brasil, encontram- se os trabalhos de Lucena_e_Motta_(2004), Lucena_e_Figueiredo_(2008) e Fortunato,_Motta_e_Russo_(2010), que também utilizaram a heurística, porém não compararam essa medida de risco com outras.

Segundo a divisão citada por Nawrocki_e_Cumova_(2010), na solução proposta por Estrada_(2008) o objetivo é transformar a matriz assimétrica em simétrica; a principal justificativa desse tipo de solução seria a chamada endogeneidade dos algoritmos heurísticos. Em outras palavras, muitas vezes o investidor necessita conhecer o grau de associação entre os ativos, mas as proposições baseadas em heurísticas desconsideram essas informações. A matriz assimétrica é apresentada na expressão [5]: [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e06.jpg] em que Ri é o retorno do ativo i; Rf é o retorno do ativo livre de risco; e T, o tamanho da amostra.

Pela equação_[5], percebe-se que a matriz é assimétrica (CSVij ≠ CSVji), uma vez que os elementos da diagonal superior são diferentes daqueles da diagonal inferior; isso ocorre porque o termo (Ri – Rf) é multiplicado por Min(Rj – Rf, 0). A partir disso, Estrada (2008) propôs a formulação apresentada na equação_ [6]: [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e07.jpg] Por meio da modificação proposta por Estrada_(2008), os problemas da assimetria e da matriz endógena foram resolvidos; a partir disso, torna-se possível a otimização conforme os direcionamentos de Markowitz. Pesquisadores como Nawrocki_(1999)e Sing_e_Ong_(2000) tratam a semivariância sob a ótica da família LPM. No caso discreto, o modelo pode ser representado pela expressão [7]: [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e08.jpg] LPMk,τ(X) = E(|min(X – τ, 0)|k)1–k[7] em que X = Ri é o retorno do ativo i; τ é o retorno mínimo aceitável; k é a ordem do modelo (grau de aversão ao risco).

Andrade_(2006) e Alexander_(2008) citam algumas ordens específicas: LPM1,τ como primeira ordem; LPM2,τ chamado de segunda ordem; LPM3,τ chamado de semiassimetria; e LPM4,τ como semicurtose. Diante da relação entre os conceitos da semivariância e do LPM, neste artigo o termo LPM, quando utilizado, estará relacionado à estimação da semivariância apresentada em Estrada_(2008). A otimização que utiliza o LPM como medida de risco é apresentada na expressão [8] e será denominada de modelo M.2.

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e09.jpg] 2.4. Otimização pelo valor em risco condicional O modelo mais utilizado para a otimização do CVaR (Conditional Value-at-Risk) para carteiras de investimentos foi proposto por Rockafellar_e_Uryasev_(2000).

Alguns trabalhos no Brasil também utilizaram a metodologia, como os de Montini_ (2003) e Ribeiro,_Ferreira_e_Santos_(2007). O método tem bastante praticidade, por minimizar o CVaR e estimar o VaR (Value-at-Risk) ao mesmo instante.

O CVaR é uma medida de risco estimada pela média das perdas desde o pior resultado até o percentil (Value-at-Risk – VaR) selecionado (geralmente 1%, 5% ou 10%), o que possibilita conhecer a informação a respeito da extensão das perdas (Alexander,_2008). Para o caso de distribuição contínua, o CVaR é apresentado por meio da equação_[9]: [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e10.jpg] em que x é uma carteira de ativos; xα é o VaR; α é o percentil da distribuição de x; e f(x) é uma função de perda associada a x.

Para a estimação do CVaR, podem ser utilizadas metodologias como as simulações por Monte-Carlo, análise de séries históricas e realização de aproximações da distribuição de probabilidade na função de perda por meio da distribuição normal ou da t de Student.

A representação do CVaR na equação_[9]sofreu uma modificação proposta por Rockafellar_e_Uryasev_(2000); a mudança pode ser visualizada na expressão [10]: [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e11.jpg] em que p(y) é a função densidade de probabilidade de variáveis de mercado; β é o nível de probabilidade a ser escolhido; e f(x,y) é uma função de perda associada à carteira x e a variáveis de mercado y.

Posteriormente, Rockafellar_e_Uryasev_(2000)definiram a fórmula do VaR como a expressão [11]: [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e12.jpg] em que Ψ (x, α) é a função de distribuição acumulada para a perda associada a x.

Desse modo, Rockafellar e Uryasev (2000) propuseram a combinação das expressões [10] e [11] em termos de uma função Fβ, como é demonstrado na equação_[12].

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e13.jpg] A expressão [12] é aplicada para distribuições contínuas de probabilidade. No caso discreto, na fórmula há algumas modificações (equação_[13]): [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e14.jpg] A partir da definição do CVaR para o caso discreto, na expressão [14] é definida a forma para a otimização de uma carteira de ações utilizando o CVaR como medida de risco.

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e15.jpg] em que n é o tamanho da amostra.

A expressão [14] e as restrições serão utilizadas para o modelo de otimização M.3.

Diferentemente da análise proposta por Markowitz_(1952), que utiliza o desvio padrão como medida de risco e em que a otimização ocorre por programação quadrática, tomando o caso do CVaR como medida de risco a otimização ocorre por meio de programação linear.

2.5. Comparação entre as medidas de risco na otimização de carteiras de ativos Nos tópicos anteriores, foram apresentados os conceitos dos modelos de otimização utilizados no presente artigo. Nesta seção, apresentam-se artigos em que se pesquisou a mesma temática. Vale ressaltar que somente no trabalho de Konno,_Waki_e_Yuuki_(2002) foi encontrada a análise das três medidas de risco.

Um dos trabalhos relevantes sobre a comparação entre as medidas de desvio padrão e a medida de risco LPM quanto à eficiência da carteira foi realizado por Rom_e_Ferguson_(1994). Foi utilizada nesse trabalho, possivelmente pela primeira vez, a expressão teoria do portfolio pós-moderna.

Nesse estudo, apresentam-se resultados relevantes sobre a fronteira eficiente.

No caso, quando os autores analisaram a curva de Retorno versus Risco, demonstraram que o modelo de otimização que contém a medida de risco baseada no LPM possuiu domínio estocástico em relação aos demais modelos estudados.

Também se verificaram maiores alocações nos ativos de renda variável quando utilizadas as medidas de LPM, enquanto a medida de desvio padrão realizou maiores posições em ativos de renda fixa.

Conforme Rom_e_Ferguson_(1994), esses resultados demonstraram que as otimizações de carteiras que tomam como medida de risco o LPM são mais adequadas à gestão de carteiras do que o desvio padrão proposto por Markowitz_ (1952). Rom_e_Ferguson_(1994) também explicaram que as alocações em maiores quantidades nos ativos de renda variável ocorreram pelo maior grau de assimetria observada nos retornos desses ativos que, segundo os autores, apresentaram maiores retornos.

Os resultados apresentados por Rom_e_Ferguson_(1994) geraram discussões nas pesquisas científicas da área: um grupo de autores concordou com as análises, e outro contrapôs-se aos resultados. Em relação aos autores que obtiveram resultados semelhantes aos de Rom_e_Ferguson_(1994), podem ser citados Grootveld_e_Hallerbach_(1999), Andrade_(2006) e Nawrocki_e_Cumova_(2010).

Grootveld_e_Hallerbach_(1999) realizaram uma investigação utilizando três índices de renda variável e três índices de renda fixa do mercado norte- americano no período de janeiro de 1980 a dezembro de 1994. O trabalho tornou- se relevante por diversificar a quantidade de análises na pesquisa em relação ao trabalho de Rom_e_Ferguson_(1994). Segundo Grootveld_e_Hallerbach_(1999), os retornos das carteiras foram maiores quando utilizado o LPM como medida de risco nas otimizações.

A pesquisa realizada por Nawrocki_e_Cumova_(2010), que utiliza o LPM como medida de risco, é muito importante porque os autores apresentaram uma simplificação efetiva em custo computacional e facilidade de aprendizagem para a otimização de carteiras. Os resultados demonstrados também foram obtidos por Rom_e_Ferguson_(1994); segundo os autores, as carteiras otimizadas, tomando-se como medida de risco o LPM, apresentaram maiores retornos.

Andrade_(2006) investigou os modelos de otimização considerando o LPM para o mercado brasileiro. No estudo foram selecionadas 24 ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa) no período de janeiro de 1995 a março de 2001. O autor analisou o comportamento da carteira dentro do período de formação e após a formação e constatou maiores retornos nas carteiras com o LPM minimizado.

Alguns autores obtiveram resultados favoráveis ao LPM; outros, desfavoráveis.

Uma das críticas mais fortes é encontrada em Estrada_(2008). Segundo esse autor, a fronteira eficiente formada pelo LPM aparenta ser mais eficaz em relação ao modelo que considera o desvio padrão. Todavia, isso ocorre simplesmente pelo fato de o LPM ser somente uma medida de mensuração de risco focada em um único lado da distribuição de probabilidade dos retornos.

O LPM mensura somente uma parte do risco em comparação com o desvio padrão, que contempla tanto o lado superior quanto o inferior da distribuição de probabilidade dos retornos. Dessa forma, seria indiferente para o investidor a escolha de uma fronteira eficiente formada a partir do desvio padrão ou pelo momento parcial inferior (LPM), dado que em qualquer uma das escolhas o risco estaria minimizado.

Jarrow_e_Zhao_(2006) também contrapõem os resultados a respeito das medidas de risco focadas no lado inferior. Após compararem os métodos de otimização em dois grupos de carteiras – o primeiro por ativos de renda fixa e o segundo por ativos de renda variável –, os autores concluem que não há diferenças significativas entre os métodos de minimização por meio do desvio padrão e por meio do LPM tanto no grupo com ativos de renda fixa quanto no grupo de ativos de renda variável.

O trabalho de Brito_Neto_e_Volkmer_(2001) é relevante por apresentar uma metodologia diferente em relação aos autores citados anteriormente. Em vez de utilizar todos os ativos para minimização do risco da carteira ou separar os ativos por tipo (renda fixa ou variável), Brito_Neto_e_Volkmer_(2001) os separaram pelo formato da distribuição de probabilidade. Desse modo, compararam os métodos de otimização de uma carteira formada somente por ativos que apresentaram distribuição normal com os de outra carteira formada por ativos que demonstraram retornos com distribuição não normal. Os resultados também são díspares em relação ao trabalho de Rom_e_Ferguson_(1994), não existindo diferenças significativas entre os métodos, considerando-se o desvio padrão e o LPM.

Quanto à comparação desvio padrão versus CVaR, podem ser apresentados os trabalhos de Rockafellar_e_Uryasev_(2000) e Bertsimas,_Lauprete_e_Samarov_ (2004). No primeiro artigo, foram gerados retornos por meio de simulação, e as comparações ocorreram pela composição da carteira segundo os níveis de confiança selecionados (90%, 95% e 99%) e pelo cálculo do VaR e CVaR em ambos os modelos de otimização. Pelos resultados de Rockafellar_e_Uryasev_(2000), as carteiras e os cálculos do VaR e CVaR tenderam à convergência em ambos os métodos.

No segundo artigo, Bertsimas_et_al.(2004) buscaram maior aprofundamento nas análises ao variar, por meio de simulações, o grau de assimetria das distribuições dos retornos dos ativos a serem impostos na carteira. Quando foram utilizadas distribuições simétricas, o modelo com CVaR apresentou maior volatilidade em relação ao desvio padrão, principalmente quando níveis de significância (α) baixos foram determinados. As carteiras tenderam à semelhança quando o tamanho da amostra aumentou. Ao simular distribuições assimétricas, o modelo com CVaR demonstrou dominância em relação ao desvio padrão, e as diferenças foram consideradas significativas. Contudo, as distâncias foram acentuadas quando se modificaram os valores de (α).

No artigo de Konno_et_al._(2002), apresentam-se comparações entre as três medidas de risco abordadas na presente pesquisa. Os autores realizaram simulações de fronteiras eficientes com dados da bolsa de valores de Tóquio e buscaram evidenciar as diferenças entre os retornos que cada uma das carteiras produziu utilizando as diferentes medidas de risco em cada otimização. Os autores criaram dois grupos para comparação das medidas: o primeiro continha os ativos com distribuição normal; o segundo, com distribuição não normal. Em ambos os grupos, as diferenças quanto aos retornos não foram significativamente diferentes.

Existe uma vasta literatura a respeito do tema otimização de carteiras. Desde o modelo proposto no artigo de Markowitz_(1952), o assunto é exaustivamente tratado no meio científico. Conforme apresentaram Roman_e_Mitra_(2009), o conteúdo está numa fase de transição em que o objetivo é minimizar os riscos de uma carteira de ativos levando em consideração os aspectos comportamentais dos investidores. Diante disso, existe a discussão sobre quais medidas de risco melhor se ajustam ao padrão comportamental do investidor. No presente artigo, comparam-se as medidas de risco que levam em conta somente o lado das perdas com a medida que considera tanto as perdas quanto os ganhos. Na Figura_2, são resumidos os principais artigos que tratam das medidas – desvio padrão (DP), LPM (momento parcial inferior) e CVaR (valor em risco condicional) – e que foram apresentados na revisão bibliográfica.

Figura 2 Quadro Comparativo dos Estudos Realizados  Autor Amostra Períodos Comparações Análises Resultados Rom_e Cinco ativos – large capitalization, small- -capitalization, non-US, bonds e Fergusom_ cash Jan. 1978 -Dez. 1992 DPxLPM Índice Sharpe, Índice Sortino e Fronteira eficiente LPM maiores retornos (1994) Grootveld_e Análise da assimetria dos ativos, análise das fronteiras Hallerbach_ Três ativos US industry e três US bond Jan. 1980 -Dez. 1994 DPxLPM eficientes LPM maiores retornos (1999) Nawrocki_e 150 ativos selecionados aleatoriamente do banco de dados da Center of Cumova_ Research in Security Prices (CRSP) Jan. 2001 -Dez. 2009 DPxLPM Fronteira eficiente e test t LPM maiores retornos (2010) Andrade_ 24 ações negociadas na Bovespa Jan. 1995 -Mar. 2001 DPxLPM Fronteira eficiente e test z LPM maiores retornos ex post (2006) Estrada_ Cinco classes de ativos - US, EAFE, Emerging Markets, US bonds, US real Jan. 1998 -Dez. 2006 DPxLPM Fronteira eficiente Não há retornos diferentes (2008) state Brito_Neto e_Volkmer_ Dois ativos - dólar e Ibovespa Nov. 2000 -Mar. 2001 DPxLPM Teste qui- -quadrado, teste de Wilcoxon Não há retornos diferentes (2001) Jarrow_e Simularam carteiras formadas somente por ativos de renda variável e outras Simulações diárias para horizonte de um ano DPxLPM Simulação Não há retornos diferentes Zhao_(2006) carteiras formadas somente por ativos de renda fixa Rockafellar Simulações de amostras de tamanho 1000, 3000, 5000, 10000 e e_Uryasev_ Três ativos - S&P500, US bonds e small caps 20000 DP x CVaR Simulação Não há retornos diferentes (2000) Bertsimas Não há diferenças (distribuição simétrica), CVaR maiores retornos et_al._ 96 ativos com dados mensais Jan. 1996 -Dez. 1999 DP x CVaR Simulações de fronteiras eficientes (distribuição assimétrica) (2004) Konno_et_al 1.100 ações da Tokyo Stock Exchange com dados mensais e diários Jan. 1995 -Dez. 1999 DPxLPMx Simulações de fronteiras eficientes Não há diferenças (DP x LPM/CVaR), não há diferenças (LPM x CVaR) (2002) CVaR 3. METODOLOGIA Neste artigo, apresenta-se uma comparação entre as medidas de risco desvio padrão (DP), momento parcial inferior (LPM) e valor em risco condicional (CVaR), considerando retorno de ações oriundas e não oriundas da distribuição normal.

O processo de pesquisa foi dividido em duas etapas: na primeira determinaram-se as medidas de risco a serem utilizadas e dividiram-se os períodos de análise; na segunda, dividiram-se os ativos conforme a distribuição de probabilidade (um grupo tem ativos normalmente distribuídos e outro, ativos não normalmente distribuídos), aplicaram-se os algoritmos de otimização e analisaram-se os resultados.

3.1. Etapa 1 Após a revisão bibliográfica, foi possível identificar algumas medidas de risco mais utilizadas (DP, LPM e CVaR). Na Figura_1, levantaram-se as propriedades matemáticas (dominância estocástica e coerência) associadas a essas medidas de risco. Por meio do referencial teórico, definiram-se as funções objetivo e restrições suficientes para otimização das funções apresentadas nas expressões [4] (modelo M.1), [8] (modelo M.2) e [14] (modelo M.3). A síntese das expressões a serem minimizadas é apresentada na Figura_3.

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-gf01.jpg]Fontes: Markowitz_(1952), Estrada_(2008) e Rockafellar_e_Uryasev_(2000).

Figura 3 Modelos de Otimização  Neste artigo, considerou-se para a análise os retornos diários de ações presentes na Bovespa de janeiro de 2006 a dezembro de 2013. Esse período foi selecionado devido ao volume relativamente baixo entre os anos de 2002 e 2005, conforme apresenta Araújo_(2012). Buscou-se, também, analisar períodos diferentes em relação a outros autores, como Brito_Neto_e_Volkmer_(2001) que utilizaram o período entre 2000 e 2001, Andrade_(2006) que utilizou uma série entre 1995 e 2001, e Araújo_et_al._(2010) que analisaram períodos entre 2009 e 2010.

Participaram das análises as ações presentes no índice Bovespa com presença em bolsa acima de 90% e liquidez em bolsa acima de 0,29. A presença em bolsa leva em consideração o número de dias em que houve pelo menos um negócio com a ação dentro do período estudado (janeiro de 2006 a dezembro de 2013). Esse critério também foi utilizado em Rubesam_e_Beltrame_(2013). A liquidez em bolsa pondera o número de dias em que houve negócios da ação na bolsa e o volume financeiro negociado; o critério de liquidez é comumente utilizado nos estudos em finanças, como apresentado por Caldeira_e_Moura_(2013).

A utilização desses critérios é importante dado que o uso de ações menos líquidas envolvem, na prática, maiores custos operacionais e dificuldades de negociação, conforme citam Caldeira_e_Moura_(2013). Portanto, utilizar as ações de maior liquidez é uma amostra representativa para o estudo; o uso desses critérios permitiu a seleção de 50 ações. Os preços das ações foram ajustados para dividendos e desdobramentos, conforme Broussard_e_Vaihekoski_(2012). Esses ajustes evitam problemas de sinais falsos, que podem causar viés na estimação das taxas de retornos, para negociação nos preços, os quais foram coletados no sistema Economatica.

Após as fases de escolha do período e levantamento dos ativos, foi necessário realizar o tratamento dos dados. Nessa fase, primeiramente foram calculadas as taxas de retorno dos ativos por meio da expressão [15].

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e16.jpg] em que Pt é o preço da ação no tempo t.

Na última fase da primeira etapa, houve a divisão da amostra em dois períodos.

Foram analisados períodos que tivessem no mínimo cem dias, pois, dado que alguns dos testes estatísticos utilizados têm propriedades assintóticas, número menor poderia afetar seus desempenhos.

Um ponto importante a ser considerado é o limite máximo do tamanho da janela de estimação dos parâmetros. Segundo Souza_(1999), a seleção de períodos longos estimaria parâmetros que poderiam não representar o comportamento do ativo.

Diante disso, a escolha de períodos semestrais possibilitou atingir os objetivos traçados com a análise de 16 semestres (1º semestre de 2006, 2º semestre de 2006; 1º semestre de 2007, 2º semestre de 2007; 1º semestre de 2008, 2º semestre de 2008; 1º semestre de 2009, 2º semestre de 2009; 1º semestre de 2010, 2º semestre de 2010, 1º semestre de 2011, 2º semestre de 2011, 1º semestre de 2012, 2º semestre de 2012, 1º semestre de 2013 e 2º semestre de 2013).

3.2. Etapa 2 Na segunda etapa, buscou-se delinear como obter informações a partir dos dados; diante disso, as análises dos dados foram selecionadas. Mediante a necessidade de escolher as ferramentas de análise, tornou-se importante especificar as principais perguntas da pesquisa: * As métricas de risco para otimização de carteiras de ações podem apresentar retornos e riscos diferentes? * As métricas de risco na otimização de carteiras apresentam resultados divergentes na presença de diferentes distribuições de probabilidade nos retornos das ações? A segunda etapa foi iniciada com a divisão do banco de dados em dois conjuntos: no primeiro, concentraram-se as ações que apresentaram seus retornos com distribuição normal; no segundo, as ações que apresentaram retornos não normalmente distribuídos. Essa divisão foi importante para realizar análises de forma semelhante à dos trabalhos de Brito_Neto_e_Volkmer_(2001) e Konno_et_al._ (2002). O teste de Jarque-Bera (expressão [16]) – que, conforme Brooks_(2008), é comumente utilizado para avaliar a normalidade das distribuições de probabilidade na área financeira – foi utilizado para definir em qual dos dois conjuntos a ação seria classificada.

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e17.jpg] em que b1 é apresentada na expressão [17]; e b2 é apresentada na expressão [18].

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e18.jpg] [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-e19.jpg] Após a divisão do banco de dados, foi iniciado o processo de otimização pelo seguinte procedimento: primeiramente, duas ações foram selecionadas de forma aleatória; depois, minimizou-se o risco com a utilização dos modelos M.1, M.2 e M.3, obtendo-se as carteiras em cada respectivo modelo. Em seguida, mais uma ação foi selecionada de forma aleatória e uma nova minimização foi realizada com as ações anteriores e a nova ação, formando a nova carteira com o risco minimizado. Esse processo é realizado até a obtenção do número máximo de ações classificadas com distribuição normal. O mesmo procedimento foi realizado no grupo das ações com retornos não normalmente distribuídos.

A partir das carteiras formadas no processo de otimização, buscou-se conhecer as características de riscos e retornos de cada portfolio. No caso dos retornos, estimou-se a média da carteira por meio da média ponderada dos retornos de cada ação presente na carteira. No caso dos riscos, estimou-se o desvio padrão, o LPM grau 2 com retorno mínimo aceitável igual a zero e o CVaR a 95% de confiança. Para comparar as medidas de risco, utilizou-se o teste F para verificar a igualdade de variâncias (somente realizado nas carteiras com distribuição normal).

Em resumo, o banco de dados foi dividido em dois grupos (ações normalmente distribuídas e não normalmente distribuídas), e para cada grupo foram considerados três modelos de otimização, propostos por Markowitz_(1952), Estrada_(2008) e Rockafellar_e_Uryasev_(2000). Após as carteiras formadas pelos três modelos, estimaram-se três medidas de risco: desvio padrão (DP), momento parcial inferior (LPM) e valor em risco condicional (CVaR). Dessa forma, obtiveram-se nove combinações de análise para cada grupo com ações normalmente distribuídas e não normalmente distribuídas descritas na Figura_4.

Figura 4 Combinações Analisadas  CombinaçõeModelo de Otimizaçã Distribuição das Ações nMedidas de Risco Carteira 1 M.1 Normal Desvio padrão 2 M.1 Normal LPM 3 M.1 Normal CVaR 4 M.2 Normal Desvio padrão 5 M.2 Normal LPM 6 M.2 Normal CVaR 7 M.3 Normal Desvio padrão 8 M.3 Normal LPM 9 M.3 Normal CVaR 10 M.1 Não Normal Desvio padrão 11 M.1 Não Normal LPM 12 M.1 Não Normal CVaR 13 M.2 Não Normal Desvio padrão 14 M.2 Não Normal LPM 15 M.2 Não Normal CVaR 16 M.3 Não Normal Desvio padrão 17 M.3 Não Normal LPM 18 M.3 Não Normal CVaR Para comparar os retornos das carteiras baseadas nas diferentes medidas de risco, foram utilizados: teste t para amostras relacionadas (para as carteiras com distribuição normal) e teste de Postos Sinalizados de Wilcoxon para amostras relacionadas (para as carteiras que não apresentaram distribuição normal). Os resultados dos testes foram baseados nos intervalos de confiança e nos níveis descritvos obtidos por meio do processo de reamostragens (bootstrap), conforme apresentam Efron_e_Tibshirami_(1993). A análise foi viabilizada por meio do software de simulação, otimização e análise de dados MatLab (Matrix Laboratory).

4. ANÁLISES E RESULTADOS Como descrito na metodologia, por meio do teste de Jarque-Bera (nível descritivo de 10%) para testar normalidade, o banco de dados foi dividido em dois grupos: o primeiro formado pelos retornos que apresentaram distribuição normal (grupo 1) e o segundo, pelas ações que não aderiram à normalidade (grupo 2). As análises buscaram comparar o resultado entre as medidas de risco e o retorno das carteiras, como pode ser observado nos tópicos a seguir.

4.1. Análises dos riscos e retornos Em conformidade com a metodologia proposta por Markowitz_(1952) para avaliar carteiras de ativos, no presente trabalho buscou-se analisar as características dos portfolios segundo seus riscos e retornos. Dado que os modelos foram baseados em medidas de risco diferentes, foi necessário estimar o risco da carteira formada por meio das três medidas de risco (DP, LPM e CVaR) descritas.

As comparações entre as medidas de risco mensuradas nos grupos detalhados na Figura_4 são apresentadas nas Figuras_5 e 6. Na Figura_5, são demonstradas as análises nas combinações em que as carteiras aderiram à normalidade, enquanto na Figura_6 são visualizados os resultados referentes às combinações em que as ações presentes nas carteiras não aderiram à normalidade. Nas figuras são apresentados os resultados para o primeiro semestre de 2012, mas esse comportamento foi o mesmo em todos os semestres analisados; desse modo, o semestre apresentado serve como referência de interpretação para os demais.

[/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-gf02.jpg] Figura 5 Comparações entre as Medidas de Risco nas Carteiras com Distribuição Normal  [/img/revistas/rausp/v50n2//0080-2107-rausp-50-02-0208-gf03.jpg] Figura 6 Comparações entre as Medidas de Risco nas Carteiras com Distribuição Não Normal  Nas Tabelas_1, 2 e 3 são observadas as seguintes características: nas colunas 1 e 2, o ano e o semestre em estudo; na coluna 3, os modelos comparados; na coluna 4, o número de ações na carteira para o grupo normalmente distribuído; na coluna 5, os resultados do teste Frealizado para testar a hipótese de igualdade entre os riscos obtidos pelos dois modelos; na coluna 6, apresenta-se a mediana do retorno da carteira com retornos normalmente distribuídos; na coluna 7, o nível descritivo do teste trealizado para comparar o retorno médio entre os modelos com ações normalmente distribuídas; na coluna 8, o número de ações na carteira para o grupo não normalmente distribuído; na coluna 9, a mediana do retorno da carteira para ações não oriundas da normalidade; e na coluna 10, apresenta-se o Teste de Wilcoxon para amostras relacionadas a fim de comparar as medianas dos retornos entre os modelos com retornos não precedentes da normalidade.

Tabela 1 Comparação das Distribuições dos Retornos dos Modelos M.1 e M.2  Distribuição Normal Não Normal Ano Semestre Modelos n Teste F Mediana Teste 1 n Mediana Teste 2 ( p)2 ( p)1 2006 1 M.1 22 F = 0,603 -0,025% 0,001 20 0,114% 0,000 2006 1 M.2 22 p = 0,422 0,054% 20 0,135% 2006 2 M.1 23 F = 0,609 0,172% 0,001 21 0,175% 0,000 2006 2 M.2 23 p = 0,457 0,242% 21 0,184% 2007 1 M.1 20 F = 0,639 0,164% 0,001 28 0,161% 0,000 2007 1 M.2 20 p = 0,619 0,215% 28 0,254% 2007 2 M.1 30 F = 0,619 0,024% 0,001 18 -0,018% 0,000 2007 2 M.2 30 p = 0,516 0,230% 18 0,020% 2008 1 M.1 15 F = 0,644 -0,163% 0,001 33 0,052% 0,000 2008 1 M.2 15 p = 0,658 -0,056% 33 0,081% 2008 2 M.1 3*       45 -0,119% 0,000 2008 2 M.2 3       45 -0,108% 2009 1 M.1 22 F = 0,670 0,161% 0,001 26 0,299% 0,000 2009 1 M.2 22 p = 0,816 0,167% 26 0,321% 2009 2 M.1 18 F = 0,643 0,188% 0,001 30 0,235% 0,000 2009 2 M.2 18 p = 0,641 0,218% 30 0,327% 2010 1 M.1 27 F = 0,607 0,014% 0,001 21 0,047% 0,000 2010 1 M.2 27 p = 0,457 0,077% 21 0,077% 2010 2 M.1 25 F = 0,651 0,207% 0,001 23 0,136% 0,000 2010 2 M.2 25 p = 0,679 0,239% 23 0,158% 2011 1 M.1 31 F = 0,618 0,044% 0,001 17 0,075% 0,000 2011 1 M.2 31 p = 0,506 0,084% 17 0,120% 2011 2 M.1 15 F = 0,637 0,071% 0,001 33 0,110% 0,000 2011 2 M.2 15 p = 0,591 0,118% 33 0,114% 2012 1 M.1 24 F = 0,610 0,043% 0,001 24 0,105% 0,000 2012 1 M.2 24 p = 0,470 0,093% 24 0,199% 2012 2 M.1 21 F = 0,563 0,089% 0,001 27 0,131% 0,000 2012 2 M.2 21 p = 0,254 0,199% 27 0,193% 2013 1 M.1 17 F = 0,675 -0,027% 0,002 31 -0,024% 0,000 2013 1 M.2 17 p = 0,848 -0,017% 31 0,060% 2013 2 M.1 19 F = 0,667 0,041% 0,001 29 0,094% 0,000 2013 2 M.2 19 p = 0,773 0,067% 29 0,181% Notas: 1Teste t para amostras relacionadas.